sábado, 12 de abril de 2008

Cálculo de la incertidumbre del sistema.



Este cálculo tiene por objetivo cuantificar la calidad y confiabilidad de las medidas de un instrumento.



La incertidumbre:


La incertidumbre es un índice de la calidad de la medida, la relación entre la calidad y la incertidumbre en inversamente proporcional, si la magnitud de la incertidumbre baja la calidad de la medida es mayor y viceversa.



La incertidumbre de la medida es el valor de la semi-amplitud de un intervalo alrededor del valor resultante de la medida (valor convencionalmente verdadero). Dicho intervalo representa una estimación adecuada de una zona de valores entre los cuales es "casi seguro" que se encuentre el valor verdadero del mensurando (Elemento o fenómeno físico medido).


Algunos de los factores de los cuales depende la magnitud de incertidumbre se una medida son:



  • Influencia de las condiciones ambientales.

  • Lecturas diferentes de instrumentos analógicos.

  • Variaciones en las observaciones repetidas de la medida en condiciones aparentemente idénticas.

  • Valores inexactos de los instrumentos patrón.

  • Muestra del producto no representativa, Son los efectos del instrumento sobre el mesurando.


Una forma de expresar las medidas con los valores de incertidumbre es:




Donde:


U: Incertidumbre absoluta (expandida)


X: Valor de medida (utilizando cualquier método de medición)


Para obtener el valor de la incertidumbre expandida de un sistema de medicion, es necesario conocer de forma precisa el valor de incertidumbre de cada uno de los elementos involucrados, por lo general pueden utilizarse datos proporcionados por el fabricante o pueden realizarse estimaciones analíticas utilizando ecuaciones de probabilidad y estadística.


Para obtener la incertidumbre expandida del sistema completo de medición se debe resolver la ecuación:



Donde:


u(y) : es la incertidumbre de la medida típica del sistema la cual se calcula utilizando la ecuación que representa la sumatoria cuadrática de las incertidumbres parciales de cada uno de los elementos involucrados en el sistema. Para un proceso de calibración se incluye el valor de la incertidumbre del instrumento de medidda patrón.





k: Es el factor de cobertura o recubrimiento determinado por el nivel de confianza.



El nivel de confianza es la probabilidad de que el intervalo de confianza a calcular contenga al verdadero valor del parámetro. Se indica por 1-α y habitualmente se da en porcentaje (1-α)100%. Hablamos de nivel de confianza y no de probabilidad ya que una vez extraída la muestra, el intervalo de confianza contendrá al verdadero valor del parámetro o no, lo que sabemos es que si repitiésemos el proceso con muchas muestras podríamos afirmar que el (1-α)% de los intervalos así construidos contendría al verdadero valor del parámetro.


Los valores que se suelen utilizar para el nivel de confianza son el 95%, 99% y 99,9%. Mientras más próximo sea este valor al 100%, significa que el margen de error cometido en la caracterización del instrumento es mucho menor y la dispersión de sus medidas es muy baja.


A menudo el nivel de confianza porcentual se expresa en términos de un valor K el cual puede ser determinado utilizando la curva de distribución normal de Gauss.



Ejemplo:



Para un nivel de confianza del 88%,



1-α = 0.88



α = 0.12



α/2 = 0.06



Z α / 2 = Z 0.06



P(Z ≤ Z 0.06) = 0.94 (1-α/2)



Z(0.94)=1.56





Por cálculos estadísticos de estimación y utilizando la tabla de tipificación correspondiente puede obtenerse que el valor K para el nivel de confianza es de 1.56.



Incertidumbre de medida basado en Pruebas de calibración



Considere que se ha construido un termómetro electrolítico basado en un transductor, un amplificador y un display. El sistema mide temperatura en el rango de 0 a 100 ºC.



Considerese que el sistema se calibra con la ayuda de un termómetro de referencia. Este es un termómetro certificado que para todo su rengo de operación presenta una incertidumbre de 0.1 ºC para un nivel de confianza del 95% (k=2).
El proceso de calibración consiste en ajustar la temperatura de la muestra hasta que en el termómetro de referencia se obtenga la temperatura de ajuste y en esa situación se lee la medida que proporciona el sistema electrónico. Este proceso se repite 8 veces para la temperatura de ajuste.


Calcular la incertidumbre de medida del sistema para la temperatura de 25 ºC, si las 8 medidas obtenidas en el proceso de calibración son las que se indican en la siguiente tabla.



Solución:


Tomando en cuenta lo siguiente:



Características del termómetro:



Incertidumbre: 0.1 ºC en toda la escala



Nivel de confianza: 95% K=2




Características del sistema:



Rango de operación 0-100 ºC




Calculo de la incertidumbre del termómetro de referencia de temperatura:



Se calcula la incertidumbre por un método en el cual las características del instrumento son suficientemente conocidas por el usuario o son proporcionadas por pruebas anteriores o por datos del fabricante. Para llevar a cabo este cálculo se emplea la relación de incertidumbre expandida de medida la cual está expresada por la siguiente ecuación:




De donde se despeja u(y) y luego son sustituidos los coeficientes conocidos.



Para el cálculo del factor de cobertura:





Sustituyendo k en la ecuación de la incertidumbre típica se tiene:



Acotación de los errores de medida del sistema:



Se obtiene a partir de la dispersión de los valores que resultan de la medida. Es la evaluación de la incertidumbre basándose en métodos de cálculo estadístico.


Para una serie de medidas repetitivas, el valor estimado viene dado por el valor promedio de las medidas observadas. Para ello utilizamos los 8 valores de la tabla dada por el problema.





La varianza experimental se calcula de la siguiente manera:










Como el número de mediciones es limitado y menor que 10, la incertidumbre de las mediciones se obtiene al multiplicar un factor de corrección por el valor de la varianza.



Para nuestro caso el factor de corrección o factor multiplicador es 1.2 porque el número de medidas es 8, teniendo lo siguiente:





Incertidumbre de la interfaz de lectura:



La componente de incertidumbre debido a la resolución del display digital el cual tiene una resolución de 0.1 ºC puede calcularse de la siguiente manera:



Incertidumbre total del sistema:



El cálculo de la incertidumbre total del sistema se lleva a cabo utilizando la siguiente ecuación:



Finalmente la incertidumbre expandida del sistema para un nivel de confianza del 95% (k=2), tenemos:



Las características de nuestro instrumento de medición de temperatura son:



  • Rango de medida 0-100ºC

  • Índice de confianza de la medida 95% (K=2).

  • Resolución 0.1 ºC

  • Incertidumbre del valor medido 0.34679ºC


Esto significa que si medimos una temperatura de 80.0 ºC con el instrumento, el valor real del mesurando esta dado por la siguiente rango:



3 comentarios:

jose alfredo dijo...

muy bueno el ejemplo, tengo varias inquietudes,,,este calculo es para el termometro que estas comparando, considero que se debe tener encuenta tambien la incertiumbre de las mediciones del patron (Tipo A, factorx S delpatron, (Tipo B, Ud:resolucion del patron/raiz(12)dentro de la sumatoria de U...gracias por tus explicaciones son muy didacticas,,Jose Alfredo Diaz,
alfredodiazjose@gmail.com

Dani dijo...

http://www.tecnimetalsa.es/

Pakyn JIMENEZ dijo...

hola amigo oye una pregunta. por que aqui no ocupas la desviacion estandard?